O que é Geometria?
Resumo: Esse curso se propõe a apresentar de jeito elementar ideias de geometria moderna. Os tópicos centrais que estudaremos são: o terceiro problema de Hilbert, os problemas de bolhas de sabão, a visão de Klein da geometria e ladrilhamentos.
Além disso, o objetivo do curso certamente não é fazer contas (até porque para isso que servem computadores), mas sim entender conceitualmente algumas ideias que permeiam a matemática atual. Em especial, a de simetria, que é fundamental para entender qualquer coisa em matemática e física: da teoria dos números mais refinada à física de partículas.
Também trataremos da famosa geometria hiperbólica, onde as ideias de simetria entram de jeito interessante, misturando números complexos à geometria dos círculos. A descoberta de tal geometria em meados do século XIX foi uma grande quebra de paradigma, pois permitiu aos matemáticos considerarem geometrias mais selvagens, muito além da Euclidiana. Se não fosse o abandono da visão Euclidiana do mundo, dificilmente existiria a matemática necessária ao entendimento de relatividade geral e mecânica quântica. Além disso, geometria hiperbólica tem o hábito de aparecer em tudo que é canto, sendo interessante por si só.
Tópicos: Os tópicos apresentados serão escolhidos entre os listados abaixo e certas alterações podem vir a acontecer de acordo com o andar do curso.
1) Apresentar vetores e matrizes geometricamente, explicar determinante como área/volume, aplicar essas ideias para resolver sistemas lineares e calcular área/volume de figuras complicadas como elipses e elipsoides.
2) Provar o teorema de Wallace–Bolyai–Gerwien: Dado dois polígonos P1 e P2 de mesma área, é possível cortar P1 em um número finito de polígonos menores e rearranjá-los formando o outro polígono P2. Em essência, esse teorema quer dizer que para calcular a área de qualquer polígono, basta saber duas coisas: usar uma tesoura e calcular área de quadrados. Introduzir o terceiro problema de Hilbert e explicar a solução de Max Dehn.
3) A prova de Steiner da desigualdade isoperimétrica: Entre todas regiões delimitadas por uma curva simples com perímetro fixo, a que tem área máxima é o disco. Problemas de bolhas de sabão.
5) Introduzir as transformações de Möbius e a geometria dos círculos.
6) A descoberta das geometrias não-Euclidianas: semiplano e disco de Poincaré.
7) Geometria segundo Klein: geometria Euclidiana, geometria esférica e geometria hiperbólica.
8) Característica de Euler, ladrilhamentos e pinturas de Escher.
Requisitos: O curso tem por objetivo atingir uma audiência ampla, então suporemos apenas alguma familiaridade com conceitos normalmente vistos no ensino médio tais como:
1) números (naturais, racionais e reais);
2) funções (polinômios, funções seno e cosseno, exponencial);
3) geometria (triângulos, retângulos, círculos, comprimento, área, volume e o teorema de Pitágoras).
Referências: Para as noções de vetores, área/volume e matrizes, recomendo a playlist do 3Blue1Brown sobre álgebra linear no youtube, cujos vídeos possuem legenda e se encontram em: Essence of linear algebra - 3Blue1Brown
Para o tópico 2) seguirei em essência o vídeo (em inglês): The Dehn Invariant - Numberphile
Para o tópico 3) usarei a prova que se encontra no site “cut the knot” (em inglês): Isoperimetric Theorem and Inequality
No tópico 4) seguirei a parte inicial desse artigo da Acta Legalicus (em português): Uma prova celestial do Teorema Fundamental da Álgebra
Para os tópicos 5), 6) e 7), por não serem tópicos usualmente ensinados elementarmente, não seguirei uma referência. No entanto, para dar um gostinho, dê uma uma olhada nesse vídeo (em português): Transformações de Möbius Reveladas
Com respeito ao tópico 8) têm esse vídeo (em português): Poliedros de Platâo e Ladrilhamento